年10月1日是杨振宁先生的百岁华诞。（杨先生实际年龄99岁，虚岁一百，官方文件上的生日是9月22日。）我们特发表此文，为杨先生贺。
撰文
倪忆
杨振宁先生（.10.1—）从来不认为自己是一位数学家。事实上，杨先生曾经说过：“现今只有两类数学著作。一类是你看完了第一页就不想看下去了,另一类是你看完了第一句话就不想看下去了。”然而，杨振宁先生对现代数学有着广泛而深远的影响。在20世纪后半叶的物理学家里，恐怕只有威腾（EdwardWitten，—）对数学的影响能够跟杨先生相提并论。本文试图对杨先生的数学贡献作一些简单介绍。需要说明的是，这里涉及到许多非常深刻的数学，作者本人了解的仅仅是其中一小部分，错漏之处在所难免，希望方家指正。
杨振宁所作题为“20世纪数学与物理的分与合”的讲座中的一页图片
杨-米尔斯理论
杨振宁先生最重要的成果是杨-米尔斯理论（Yang-Millstheory），这是一种非阿贝尔规范场论（nonabeliangaugetheory）。规范场论的思想在麦克斯韦（JamesMaxwell，—）的电磁学理论里便已经出现。年，外尔（HermannWeyl，—）试图统一电磁场和引力场，在场论中引入了一个尺度因子。这个尺度因子带来了一定的冗余度，需要选定一个“规范”（gauge）来剔除此冗余度。外尔的这一尝试并未成功，爱因斯坦（AlbertEinstein，—）高度评价其中的数学，却强烈批评其中的物理。[1]
普林斯顿高等研究院在四十年代的一次会议，其中有爱因斯坦（左三）和外尔（右二）（图源：高等研究院档案）
外尔最初引入的尺度因子是正实数。量子力学兴起后，外尔在年修改了他的规范场论，把尺度因子改成模长为1的复数，用以描述电磁场。福克（VladimirFock，—）和伦敦（FritzLondon，—）等人也在这一时期作出了类似发现。年，泡利（WolfgangPauli，—）把规范场理论普及给物理学界。在数学里，所有模长为1的复数组成一个群U(1)。这个群被称作外尔规范场论里的规范群。如果一个群里的乘法是可交换的，这个群就被被称作阿贝尔群，反之就是非阿贝尔群。例如大多数矩阵群都是非阿贝尔群，因为乘法交换律对于矩阵乘法不成立。外尔理论里的规范群是阿贝尔群，所以外尔理论是一个阿贝尔规范场论。我们知道，自然界中有四种基本力：电磁力、弱相互作用、强相互作用、万有引力。外尔等人的工作把电磁力用U(1)规范场论来描述，而万有引力的物理理论则是爱因斯坦的广义相对论。年，杨振宁和米尔斯（RobertMills，—）把规范场论里的规范群从U(1)改成二阶正交酉矩阵群SU(2)，建立了第一个非阿贝尔规范场论。杨振宁和米尔斯最初想用这一理论来描述强相互作用，但这并不正确。经过后来许多物理学家的努力，SU(2)规范场论被成功地用于描述弱相互作用。而强相互作用则需要使用规范群为SU(3)的规范场论，通常也被称为杨-米尔斯理论。
年，杨振宁与米尔斯在杨振宁退休庆祝会议上丨图源：AmericanInstituteofPhysics
统计学家斯蒂格勒（StephenStigler，—）曾提出一个“斯蒂格勒定律”，即“没有一个科学发现是以最初发现者的名字来命名”。斯蒂格勒定律本身就符合这一定律，因为斯蒂格勒认为这个定律是默顿（RobertMerton，—）首先提出的。杨-米尔斯理论也符合斯蒂格勒定律——泡利在年就得到了一个类似的理论。日本物理学家内山龙雄（—）为了统一万有引力和电磁力，在年独立提出了非交换规范场论。他曾在京都大学作报告，但没有得到听众的积极回应。得知杨-米尔斯的工作后，内山龙雄在年把自己的论文修改成为一个更广泛的规范场论，并在年发表。比杨振宁和米尔斯稍晚，萨拉姆（AbdusSalam，—）的学生萧（RonaldShaw，—）在年也独立发现了杨-米尔斯理论。
尽管泡利、内山、萧都独立于杨振宁和米尔斯得到了非交换规范场论，但杨振宁和米尔斯毫无疑问应当获得最大的荣誉。泡利和萧的工作都没有发表，因为他们对其中的物理图景不甚明了。内山发表论文在杨-米尔斯之后，且受到杨-米尔斯的影响。只有杨振宁和米尔斯将这个尚存瑕疵的理论率先发表出来，让后来者得以在此基础上进行研究。一个经常被提到的故事是，当杨振宁在普林斯顿作杨-米尔斯理论的报告时，台下的泡利不停地问他非阿贝尔规范玻色子的质量是什么。泡利曾经深入研究过这一问题，知道质量应该是零，而这是不可能的。杨振宁回答说他不知道，但泡利一再追问。杨振宁认为泡利的敌意过重，干脆停止演讲坐到台下，场面一时十分尴尬。最后，奥本海默（J.RobertOppenheimer，—）说，“我们应该让杨振宁继续讲。”杨振宁才回到讲台上，而泡利也没有问更多的问题。[2]杨-米尔斯理论中的质量问题直到六十年代才通过希格斯机制得到解决。
年，泡利在普林斯顿高等研究院庆祝他的45岁生日丨图源：CERN
杨振宁和米尔斯建立了杨-米尔斯理论的数学形式，其物理应用则应归功于后来者。然而，与杨-米尔斯理论有关的数学成为现代数学里一个重要组成部分。年，杨振宁在纽约州立大学石溪分校讲授一门广义相对论课程。一天，他在黑板上写下广义相对论所需要用到的黎曼曲率张量公式，突然发现这个公式很像杨-米尔斯理论里的一个公式。他十分震惊，便去请教数学系主任西蒙斯（JamesSimons，—）。西蒙斯告诉他这两个公式都是纤维丛（fiberbundle）上的联络（connection）。杨振宁被这一美妙的联系深深地震撼了。[3]
杨振宁与西蒙斯丨图源：TheStonyBrookDialoguesinMathematicsandPhysics
年，杨振宁同吳大峻（—）发表一篇论文，把纤维丛的数学语言翻译为杨-米尔斯理论的物理语言，引发了数学界和物理学界对彼此工作的浓厚兴趣。这就是著名的吴-杨字典（Wu-Yangdictionary）。事实上，关于纤维丛与杨-米尔斯理论的关系，在吴-杨字典之前就有一些人提到。例如赫尔曼（RobertHermann，—）在年的一本专著中对此有详细阐述。但此类工作没有产生吴-杨字典那样的影响，这或许也可以算作斯蒂格勒定律的一个例子。
吴-杨字典丨图源：I.M.Singer,Someproblemsinthequantizationofgaugetheoriesandstringtheories）
七十年代后期，辛格（IsadoreSinger，—）把吴-杨字典介绍给数学界，引发了数学家们学习杨-米尔斯理论的热潮。一大批崭新的数学工作得以诞生，为数学发展提供了新的动力。以下简要介绍其中一部分。
杨-米尔斯理论中出现了一个偏微分方程
被称为杨-米尔斯方程。年，杨振宁访问其父杨武之（—）生前任教的复旦大学。他同谷超豪（—）、胡和生（—）等人谈起杨-米尔斯理论中的数学问题。双方展开合作，在国际上率先对杨-米尔斯方程进行研究，解决了该方程的许多基本问题。
年，谷超豪（左一）、胡和生（左二）与杨振宁开始合作研究规范场论（图源：中国科学报）
-年，阿蒂亚（MichaelAtiyah，—）、希钦（NigelHitchin，—）和辛格证明了四维球面上杨-米尔斯方程的解的模空间是一个流形，并用指标定理计算了其维数。年，阿蒂亚、希钦、德林菲尔德（VladimirDrinfeld，—）、马宁（YuriManin，—）四人合写一篇论文，完全确定了这一模空间。
年，乌伦贝克（KarenUhlenbeck，—）证明了杨-米尔斯方程解的许多基本性质，包括（四维的）可去奇点定理和（任意维数的）紧性定理。田刚（—）和陶哲轩（—）后来把可去奇点定理推广到了高维。
乌伦贝克于年在伯克利丨图源：OberwolfachPhotoCollection
年，陶布斯（CliffordTaubes，—）发现了一种新的构造杨-米尔斯方程解的方法，对于一大类四维流形证明了解的存在性。复流形上杨-米尔斯方程的研究始于阿蒂亚和博特（RaoulBott，—）在八十年代初的工作。小林昭七（—）和希钦猜测复流形上杨-米尔斯方程的解跟向量丛的稳定性有关，这一猜想被唐纳森（SimonDonaldson，—）、乌伦贝克和丘成桐（—）解决。受此启发，丘成桐对复流形的凯勒-爱因斯坦度量作出类似猜想。田刚和唐纳森进一步阐述了丘成桐的猜想，引入了K-稳定性的概念，在复几何和代数几何领域起到了核心作用。
年，丘成桐、阿蒂亚和希钦丨图源：OberwolfachPhotoCollection
希钦在年定义了一维复流形上的希格斯丛，并研究了其上的杨-米尔斯方程。辛普森（CarlosSimpson，—）把希钦的工作推广到了高维。希格斯丛是近年来几何拓扑领域的研究热点，并且在数论和表示论中得到了出乎意料的应用。吴宝珠（—）使用希钦的工作证明了朗兰兹纲领中的“基本引理”，并因此获得年菲尔兹奖。年菲尔兹奖得主法尔廷斯（GerdFaltings，—）开创了p进数域上希格斯丛的研究。卡普斯金（AntonKapustin，—）和威腾则使用希钦的工作（及其推广）来研究几何朗兰兹纲领。杨-米尔斯方程最著名的数学应用是在低维拓扑领域。年，在乌伦贝克和陶贝斯工作的基础上，唐纳森使用杨-米尔斯方程研究四维流形的微分拓扑，取得了令人惊异的结果。把唐纳森和弗里德曼（MichaelFreedman，—）的工作结合起来，能够证明四维空间R^4上有怪异的微分结构，而这一点对其余维数的欧氏空间不成立。唐纳森后来进一步发展了他的理论，定义了光滑四维流形的不变量。唐纳森因此获得年菲尔兹奖。
年，唐纳森（右二）和陶贝斯（右三）获得邵逸夫数学奖丨图源：中国*府网
年，弗洛尔（AndreasFloer，—）把唐纳森理论发展到了三维流形上，定义了瞬子同调论。年，唐纳森和他的学生托马斯（RichardThomas）使用SU(4)规范场论来研究卡拉比-丘三维复流形。年菲尔兹奖得主奧昆科夫（AndreiOkounkov，—）和他的合作者们对唐纳森-托马斯理论有重要贡献。唐纳森理论的思想如今在低维拓扑、辛几何、代数几何、复几何等许多领域里都占据着主导地位，其后续发展包括格罗莫夫-威腾理论、塞伯格-威腾理论等等，尽管杨-米尔斯方程在这些理论里已经不再出现。杨-米尔斯方程在低维拓扑里的另外一个应用跟琼斯多项式有关，这是琼斯（VaughanJones，—）在年发现的一个新的纽结不变量。威腾在年指出，琼斯多项式可以用杨-米尔斯理论来解释。威腾的思想被雷希蒂欣（NicolaiReshetikhin，—）和图拉耶夫（VladimirTuraev，—）发展为严格的数学理论，可以用来构造一般三维流形的不变量。近二十年来，琼斯多项式的一个推广——霍瓦诺夫同调论（Khovanovhomology）——成为低维拓扑里的研究热点。威腾同样用杨-米尔斯理论给出了霍瓦诺夫同调论的一种解释，引发了许多数学家的